數學里魔術：揭開無效證明的神秘面紗(一)解答篇

[遇見數學]小編：數學是一個嚴謹而細致的學科，它的美在于其精確性。證明是人們建立數學事實真實性的主要工具。需要小心的是，有一類錯誤的證明，乍一看似擁有正確的推理過程，但實際上包含邏輯或規則錯誤之處，數學家稱之為無效證明，或者數學謬誤。這種證明中的錯誤，無論是故意還是無意的，特別適合用來考驗是否牢記數學規則。以下是[遇見]從維基百科的「無效證明」中選取的一些例子，大家可以一起來考考自己，看看到底是哪里出現了問題，才導致了如此荒謬的結論。例子 I：證明 1 是最大的正整數Q.E.D.整個證明過程的問題出現在最初的假設中，也就是假設存在一個最大的正整數。所以，這個證明的基礎假設就是錯誤的，因此整個證明都是無效的。例子 II：證明 -1 等于 1Q.E.D.第三步出現了問題。在實數范圍內，不能對負數開方，這是一個無效的操作。例子 3：證明 1 等于 2Q.E.D.在第五步出現了問題。由于假設里是 ，。在數學中，不能除以0，所以這一步是不允許的。例子 4：證明 4 等于 5Q.E.D.問題出現在第6步，對等式的兩邊同時開方，但是忽略了可能的正負根。例子 5：證明 1+1=0Q.E.D.這個證明過程的問題出現在第3步。在這里，錯誤地將 分解為 。雖然這在 和 都為正數時是正確的，但在它們為負數時是不正確的。在實數范圍內，我們不能對負數開方。